• Fibonacci, phi e la matematica della crescita


    Come il pi greco è alla base delle descrizioni di tutte le circonferenze, così un valore costante è alla base delle spirali presenti in natura. Le curve vorticose presenti nelle più antiche creature acquatiche, come le conchiglie, sono le forme che ricorrono più di frequente in natura: seguono una traccia a spirale a crescita esponenziale. Ogni curva è più ampia della precedente secondo un fattore costante: la stessa spirale disegna la disposizione dei semi di un fiore come il girasole e delle stelle lungo la spirale di una galassia.

    Leonardo Fibonacci (1175-1240) è stato il più insigne matematico europeo del Medioevo. Nato a Pisa, dopo aver assimilato le nozioni della tradizione greca pitagorica ed euclidea visse in Marocco per un certo periodo e lì imparò la matematica araba. Fibonacci è famoso perché ideò una serie lineare numerica che porta il suo nome e che comincia con il numero 1. I numeri che seguono sono determinati dalla somma dei due che li precedono immediatamente. Avremo così: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

    Il risultato delle frazioni che si formano dividendo le cifre successive (1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13...) è un numero che tende ad avvicinarsi sempre più a una costante chiamata sezione aurea, il cui valore equivale a 1,6180339887...

                                             1/1 = 1,000000                                         55/34 = 1,617978
                                             2/1 = 2,000000                                         89/55 = 1,618182
                                             3/2 = 1,500000                                         144/89 = 1,617978
                                             5/3 = 1,666666                                         233/144 = 1,618056
                                             8/5 = 1,600000                                         377/233 = 1,618026
                                             13/8 = 1,625000                                       610/377 = 1,618037
                                             21/13 = 1,615385                                     987/610 = 1,618033
                                             34/21 = 1,619048                                     ...

    La sezione aurea è il limite infinito del rapporto di due cifre consecutive della serie di Fibonacci. Si tratta di un numero irrazionale, dotato di cifre decimali che continuano all'infinito. È un numero unico, conosciuto anche come phi, e ha affascinato generazioni di matematici e artisti. La sezione aurea, un tempo conosciuta anche come divina proporzione, è un numero speciale che è presente in tutto l'universo. Lo ritroviamo in natura a tutti i livelli: dai cristalli ai buchi neri, nel ritmo in cui prolificano i conigli e le api, nelle spirali che si disegnano sulla superficie degli ananas.

    In natura gli elementi organici tendono ad associarsi a gruppi di 3, 5, 8, 13 elementi secondo la serie di Fibonacci: in ciascuna fila i numeri dei petali dei fiori, delle foglie delle piante e delle scaglie delle pigne, la disposizione delle macchie sulla pelle degli animali. Quasi tutte le forme a spirale della natura, conchiglie comprese, tendono a crescere e a moltiplicarsi seguendo la successione di Fibonacci o in rapporto alla sezione aurea. I numeri di Fibonacci si sono "infiltrati" anche nelle spirali dei codici del DNA. La curva a spirale espressa nel rapporto 1:1,618034 compone i frattali maggiormente presenti in natura ed è l'unica che può estendersi all'infinito.

    La sezione aurea fu una scoperta di Pitagora (569 ca.-500 a.C.) e dei suoi seguaci. Nel 300 a.C. il matematico greco Euclide di Alessandria individuò la sezione aurea su una linea divisa in due segmenti ineguali. Se si divide una linea in due parti con una sezione aurea, così che il rapporto tra la parte maggiore e il totale abbia questo valore (1,618034), allora anche il rapporto tra la parte minore e la parte maggiore sarà una sezione aurea. Una linea è tagliata in una sezione aurea quando il rapporto tra le lunghezze AC e CB è uguale al rapporto tra AB e AC.
    Sezione aurea di Euclide di Aurigemma

    rettangolo e spirale aurei
    Un'altra curiosità di questo numero: in un rettangolo aureo, il rapporto tra base e altezza è ancora una sezione aurea. Se dal punto relativo della sezione aurea del rettangolo deriviamo un quadrato, si formerà un altro rettangolo aureo e da questo un altro ancora e così via all'infinito.
    All'interno di tale figura si viene a formare quella spirale ad andamento infinito onnipresente in natura, il cui valore è espresso dalla sezione aurea.

    [...] Con questo rigore matematico la natura organizza sequenze ripetitive, frattali, schemi curvi e spiraliformi che tendono all'infinito e che ritroviamo nei movimenti dell'acqua. La sezione aurea è alla base delle giuste proporzioni delle simmetrie naturali. [...]

    La serie aritmetica di Fibonacci è stata utilizzata da pittori, scultori, architetti e musicisti di tutti i tempi, spesso senza un'intenzione conscia degli autori: da Leonardo e Albrecht Dürer ai cubisti, ai simbolisti, ai futuristi come Gino Severini, fino a Le Corbusier e Salvador Dalì. La consideravano un codice per accedere al segreto dell'armonia. Piero della Francesca, oltre a essere uno dei più ispirati pittori del Rinascimento, era anche un fine matematico, tanto che un suo trattato fu copiato dal matematico Luca Pacioli nel suo De divina proportione (1509), libro dedicato alla sezione aurea e illustrato da Leonardo. Debussy probabilmente intuì la profonda relazione tra il mondo dell'acqua e la sezione aurea: il ritmo e le spaziature musicali delle sue opere ispirate all'acqua - le sonate per pianoforte Reflets dans l'eau (Riflessi nell'acqua) e Jardins sous la pluie (Giardini sotto la pioggia) e la sinfonia La mer (Il mare) - sono scanditi secondo la serie di Fibonacci.

    - tratto da "L'Acqua Pura e Semplice", leggi anche QUI

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